用无穷递降法：
首先，定义一个概念：给定球内接三角形ABC，称球面上距离平面ABC最远的点为三角形ABC的“极远点”.
其次，证明球内接三棱锥ABCD的四个顶点都是其对面三角形的极远点的充要条件是该三棱锥是正四面体.
其中，必要性的证明要用到以下引理：
引理 设三角形ABC的顶点都在一个球面上，选取其中一条边，比如AB，则对于球面上任意一个过A，B两点的圆（不在平面ABC上），其上一点D距离平面ABC最远时必有DA=DB.
利用上述引理可以证明满足条件的三棱锥的所有邻边等长.
回到命题的证明：假设三棱锥ABCD是球内接三棱锥中体积最大的，但不是正四面体.于是该三棱锥的四个顶点中至少有一个不是其对面三角形的极远点，把该点移至极远点处可得一体积更大的三棱锥，矛盾.