被车门夹要看夹的东西的大小，如果是夹人的话，司机可能会看到报警并且火车无法启动，但如果是小东西（比如2厘米以下）就未必会报警。
地铁、火车都有类似的装置，前提是夹的东西足够大，如果夹的东西不大，车可以正常启动。我看到过北京地铁车门夹着一个包也开走的情况。在车运行时车门是锁住的，印象里，普铁的车门在速度低于5km/h或者15km/h的情况下才能开启。
根据你的描述，车门夹住你的包的时候，如果你的包不大，司机室那边未必能检测到，那么车可能已经准备启动了，并且动车组本身启停速度很快。
动车组的关门警报声跟一些地铁的关门警报很相似。不管是火车还是地铁，确实没有哪个官方文件通告乘客有警报声时不能下车，但我认为这是常识（乘车指南里可能有，但未必有人看）。一般来说，听到这个声音就不应该下车了。
错过下车站的正确方法是找乘务员说自己忘记下车了，车长会免费给你一张回送车票，在下一站乘坐临近的车次返回你要下车的车站。
如果车门夹住了比较大的东西，车门会出现关门故障，司机会通知乘务员查看车门的情况，但这需要时间，因为动车组乘务员并不是每节车厢一个，不一定能保证及时处理。
车门夹住东西但没开门，说明夹的东西太小，这种情况下千万不要追着东西跑，跟站内工作人员说一下，下一站会有人帮你把包取下来（遗忘行李也是同理）。