这个问题并不像他看上去那么“单纯”。如果考虑李群的作用，那么每个轨道都是一个齐次空间G/H，其中H是G在轨道上的点处的稳定化子。
如果要探讨半单李群在自己的李代数上的adjoint action，那么你将会发现Cartan subalgebra，Weyl group，以及root system，Dynkin diagram这一整套非常漂亮的分类理论。
如果要探讨李群在他的李代数的对偶上的coadjoint action，那么他的轨道可以和李群的unitary irreducible representation建立联系，这是Kirillov的知名工作，也就是所谓的orbit method。
如果你比较关心几何层面每个轨道作为子流形到底长啥样，那你可以看下我老板的笔记
里面有非常非常多的具体例子——但是，是手写的，而且我老板的字迹不是很好辨认。我读博期间花了很多时间去算具体的群作用的例子，现在对这种繁琐又容易出错的bookkeeping的工作有点失去耐心了。。